道光二十七年（1847年）三月，李鸿章意气风发，参加了顺天贡院的丁未科会试。这是李鸿章第二次走进考场，此前他已经拜曾国藩为师，专心苦练八股文，因此对这次会试充满信心，决心取得好成绩。

会试开始后，考生首先要在草稿纸上答题，确认无误后再誊写在正式的考卷上。虽然会试有三场，但真正决定成败的是第一场。李鸿章全力以赴，文思如泉涌，写作顺利。经过两天的奋战，他终于完成了草稿，只剩下第二天誊写交卷。

然而，第二天晚上，李鸿章突感风寒。虽然三月初的京城气温依然寒冷，许多考生都有类似的经历，但李鸿章的病情异常严重，手抖得无法提笔。他心情沮丧，发出一声长叹：“今科无望矣！”他坐在考场号舍内，感到万念俱灰。没想到，这一番叹息引起了旁边江苏宜兴的考生徐家杰的注意。

会试的考场纪律原本非常严格，但到了晚清，纪律已有松懈，考生走动、交谈等现象时有发生。徐家杰曾多次参加会试，誊写完自己的试卷后，他起身走向李鸿章，问他答了几篇。李鸿章无力地回答：“我只誊写了一篇，还有两篇是草稿，实在来不及誊写，手一拿笔就哆嗦了，无法完成。”

徐家杰理解李鸿章的困境，知道他为这次会试付出了很多努力。出于同情，他决定伸出援手，表示愿意代李鸿章誊写试卷。李鸿章感激涕零，答应了他的帮助。在徐家杰的代劳下，李鸿章最终顺利完成会试，顺利通过。

几个月后的殿试中，李鸿章名列二甲第十三名，成功中榜，成为进士。而徐家杰也考取了三甲第三十八名。两人发榜后，李鸿章亲自前往江苏会馆拜访徐家杰，感谢他的无私帮助，二人因此结为至交。

李鸿章后来步步高升，最终成为了朝廷的权臣；而徐家杰则被任命为山东益都知县，虽然他一生仕途平淡，始终未能出人头地，甚至在知县岗位上来回调任，直到退休依旧是七品小官。

尽管李鸿章权倾一时，面对慈禧太后时更是拥有不小的影响力，但他多次暗示徐家杰，希望能够提拔他。然而，徐家杰身上有着坚定的原则，他拒绝了李鸿章的好意，认为接受提拔会损害自己的气节。李鸿章无奈，二人虽然保持着密切的关系，但也没再多提此事。

时光流转，到了光绪二十四年，李鸿章终于还了徐家杰一个天大的恩情。此时，戊戌政变爆发，光绪帝被囚禁，许多维新派人士被抓入狱，守旧派大臣按照慈禧的命令，将徐家杰的儿子徐致靖列入了“祸首”名单。徐致靖曾是维新派的领袖，推荐过许多改革派人物，然而他成了守旧派的眼中钉，随时可能被处决。

在家族面临巨大困境时，徐家杰找到了李鸿章，请求他出面救助。李鸿章虽然已失去许多权力，但他的人际关系依旧强大，他答应尽力帮忙。李鸿章与荣禄关系深厚，他通过荣禄向慈禧太后求情，提出徐致靖并非维新运动的核心人物，慈禧太后最终答应放过徐致靖。

李鸿章的这一举动，最终保住了徐致靖的性命。事后，徐家杰亲自登门致谢，感激李鸿章的帮助。或许他自己也未曾料到，当年一时的举手之劳，竟为家族带来了荣誉与安全。而李鸿章的知恩图报，也让他在家族中的声誉更高。

这一故事虽然在野史中记载，但也有部分证据表明徐家杰确实在会试时帮助过李鸿章，而李鸿章的帮助，尤其是在戊戌政变中的救命之恩，也被史料所确认。这段深厚的友谊与恩情，成为了两人一生中的重要记忆。