古埃及莱茵数学莎草纸中的圆周率及古埃及度量
莱茵德数学纸莎草纸的一部分。/由布鲁克林博物馆和 维基共享资源提供
莱茵数学纸莎草纸可追溯到古埃及第二中期。
《莱因德纸草书》﹝Rhind Papyrus﹞是公元前1650年左右的埃及数学著作，属于世界上最古老的数学著作之一。作者是书记官阿默斯。
内容似乎是依据了更早年代﹝1849 B.C. ─1801 B.C.﹞的教科书，是为当时的包括贵族、祭司等知识阶层所作，最早发现于埃及底比斯（今卢克索附近）的废墟中。公元1858年由英国的埃及学者莱因德﹝A. H. Rhind﹞得到，故名。现藏于伦敦大英博物馆。该纸草书全长544厘米，宽33厘米。
马修-A-麦金托什（Matthew A. McIntosh）公共历史学家
简介
莱茵德数学纸莎草纸（Rhind Mathematical Papyrus，RMP；又称大英博物馆 10057 号纸莎草纸和 pBM 10058 号纸莎草纸）是最著名的古埃及数学作品之一。它以苏格兰古董商亚历山大-亨利-莱茵德（Alexander Henry Rhind）的名字命名，莱茵德于 1858 年在埃及卢克索购买了该纸莎草纸；它显然是在拉美西斯姆（Ramesseum）或其附近进行非法挖掘时发现的。
该纸莎草纸的历史可追溯到公元前 1550 年左右。[1] 大英博物馆于 1865 年收购了该纸莎草纸，同时收购的还有同样归亨利-莱茵德所有的埃及数学皮卷。[2] 纽约布鲁克林博物馆收藏了一些小碎片[3][4]，中间 18 厘米（7.1 英寸）的部分已经缺失。它与《莫斯科数学纸莎草纸》是著名的两大数学纸莎草纸之一。莱茵数学纸莎草纸比莫斯科数学纸莎草纸更大，而后者则更古老[3]。
莱茵数学纸莎草纸可追溯到埃及第二中期。它是由抄写员阿赫梅斯（即阿赫莫塞；阿赫梅斯是数学史家所偏爱的一种较早的抄写方式）根据现已失传的阿门内姆哈特三世国王统治时期（第十二王朝）的文本抄写而成的。这份埃及手稿以象形文字书写，高 33 厘米（13 英寸），由多个部分组成，总长度超过 5 米（16 英尺）。19 世纪末，该纸莎草纸开始被音译和数学翻译。数学翻译在几个方面仍不完整。这份文件的年代是希克索斯国王阿波菲斯的第 33 年，其背面还包含了一份单独的历史说明，很可能是其继任者卡穆迪时期（"第 11 年"）的文件。
印有希克索斯法老阿佩皮（阿波菲斯）最后称号的刀片。/ 波士顿美术博物馆 Keith Schengili-Roberts 拍摄 ，维基共享资源
在纸莎草纸的开头几段，阿赫迈斯介绍说，纸莎草纸提供了 "精确的计算，用于探究事物，以及所有事物、奥秘......所有秘密的知识"。他接着说
这本书是在上下埃及国王奥塞勒（Awserre）的统治下，于阿凯特（Akhet）33 年 4 月根据上下埃及国王尼玛特雷（Nimaatre）时期的古抄本抄写的。该副本由抄写员阿赫摩斯撰写[2]。
[3]《莱茵数学纸莎草纸》由皮特于 1923 年出版，其中包含对文本的讨论，沿用了格里菲斯的第一、第二和第三卷提纲[6]。
第一卷--算术和代数
莱茵德纸莎草纸的一部分/大英博物馆，公共领域
莱茵德纸莎草纸的第一部分包括参考表格以及 21 道算术题和 20 道代数题。这些问题从简单的分数表达式开始，然后是完形（sekem）问题和更复杂的线性方程（aha问题）[3]。
纸莎草纸的第一部分是2/n表。从 3 到 101 的奇数n的分数2/n用单位分数的和表示。例如，2/15=1/10+1/30。将2/n分解成单位分数的长度永远不会超过 4 项，例如
这个表格后面还有一个更小、更小的表格，是 1 到 9 除以 10 的分数表达式。例如，7 除以 10 记录为：7 除以 10 得 2/3 + 1/30
在这两张表格之后，纸莎草纸上一共记录了 91 个问题，现代人将其命名为问题（或数字）1-87，包括被命名为问题 7B、59B、61B 和 82B 的其他四个项目。问题 1-7、7B 和 8-40 涉及算术和初等代数。
问题 1-6 计算一定数量的面包除以 10 人，并用单位分数记录结果。问题 7-20 演示如何用不同的分数乘表达式 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4，以及 1 + 2/3 + 1/3 = 2。问题 21-23 是完形填空问题，用现代符号表示就是简单的减法问题。问题 24-34 是 "啊哈 "问题；它们是线性方程。
例如，问题 32（用现代符号表示）相当于求解 x 的 x + 1/3 x + 1/4 x = 2。问题 35-38 涉及 heqat 的除法，heqat 是古埃及的体积单位。从这道题开始，各种测量单位在纸莎草纸的其余部分变得更加重要，实际上，纸莎草纸其余部分的主要考虑因素就是尺寸分析。问题 39 和 40 计算了面包的分割，并使用了算术级数[2]。
第二册 - 几何学
莱茵德纸莎草纸的一部分。/ 大英博物馆、 维基共享资源提供
概述
莱茵德纸莎草纸的第二部分，即问题 41-59、59B 和 60，由几何问题组成。皮特称这些问题为 "测量问题"[3]。
体积
问题 41-46 展示了如何计算圆柱形和长方形粮仓的体积。在第 41 题中，阿赫迈斯计算了一个圆柱形粮仓的体积。在直径 d 和高 h 的条件下，体积 V 的计算公式为
用现代数学符号表示（并使用 d = 2r），可以得出 V=(8/9)2 2 例外=(256/81) 2 例外。分式项 256/81 近似得出 π 的值为 3.1605......，误差小于 1%。
问题 47 是一个分数等分表，表示 "100 夸脱 "的物理量除以从 10 到 100 的每一个 10 的倍数的十种情况。这些商都是用荷鲁斯之眼分数来表示的，有时也使用一个更小的体积单位，称为 "四倍罗"。四倍赫卡特和四倍罗是由更简单的赫卡特和罗衍生出来的体积单位，因此这四个体积单位满足以下关系： 1个四倍希卡特=4个希卡特=1280个罗=320个四倍罗。因此
100/10 四倍他卡特 = 10 四倍他卡特
100/20 四倍哈卡特 = 5 四倍哈卡特
100/30 四倍石炭酸 = (3 + 1/4 + 1/16 + 1/64) 四倍石炭酸 + (1 + 2/3) 四倍石炭酸
100/40 四重哈卡特 = (2 + 1/2) 四重哈卡特
100/50 四倍哈特 = 2 四倍哈特
100/60 四重唱 = (1 + 1/2 + 1/8 + 1/32) 四重唱 + (3 + 1/3) 四重唱 ro
100/70 quadruple heqat = (1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 + 1/64) quadruple heqat + (2 + 1/14 + 1/21 + 1/42) quadruple ro
100/80 四重哈卡特 = (1 + 1/4) 四重哈卡特
100/90 四倍异径管 = (1 + 1/16 + 1/32 + 1/64) 四倍异径管 + (1/2 + 1/18) 四倍异径管 ro
100/100 四倍哈特 = 1 四倍哈特[2]
区域
问题 48-55 展示了如何计算各种面积。具体地说，第 48 题明确加强了 "圆的面积与它的周长平方的面积之比为 64/81 "这一惯例（在几何部分中一直使用）。等价地，纸莎草纸将π近似为 256/81，这在上面对第 41 题的解释中已经提到过。
其他问题说明了如何求矩形、三角形和梯形的面积。
金字塔
最后六个问题与金字塔的斜率有关。一个斜面问题的报告如下：[8]如果一个金字塔高 250 立方厘米，底边长 360 立方厘米，它的斜面是多少？
问题的答案是金字塔底座边长的一半与高度的比值，或者说是金字塔面的高低比。换句话说，求出的 "seked "就是金字塔底面和正面夹角的余切值[8]。
第三卷 - 杂记
莱茵德纸莎草纸的一部分/大英博物馆，公共领域
莱茵德纸莎草纸的第三部分由 91 个问题的剩余部分组成，包括 61、61B、62-82、82B、83-84 和 85-87 个 "数字"，这些都是非数学性质的问题。最后一部分包含更复杂的数据表（经常涉及荷鲁斯之眼的分数）、几个有关食物制作的初级代数问题pefsu，甚至还有一个有趣的问题（79），它暗示了几何级数、几何数列以及后来历史上的某些问题和谜语。第 79 题明确提到了 "七座房子、49 只猫、343 只老鼠、2401 穗苏耳、16807 赫卡特"。
具体来说，第 79 题涉及这样一种情况：7 间房子里各有 7 只猫，猫吃掉 7 只老鼠，每只老鼠吃掉 7 穗谷物，每穗谷物产生 7 量谷物。因此，《莱茵纸莎草纸》的第三部分是在前述基础上的一种杂记。问题 61 涉及分数乘法。问题 61B 则给出了计算 1/n 的 2/3 的一般表达式，其中 n 为奇数。用现代符号给出的公式是
61B 中给出的技巧与 2/n 表的推导密切相关。
问题 62-68 是代数性质的一般问题。问题 69-78 都是某种形式的pefsu问题。它们涉及面包和啤酒的强度计算，与生产中使用的某些原材料有关[2]。
问题 79 是几何级数中五个项的和。[3]第 80 题和第 81 题计算荷鲁斯之眼的希努（或希卡特）分数。最后四道数学题，即第 82、82B 和 83-84 题，计算各种动物（如鸡和牛）所需的饲料量。
与 "问题 "相对，莱茵德纸莎草纸上的最后三个问题被命名为 "数字 "85-87，它们广泛散布在纸莎草纸的背面（即背面）。
它们分别是结束文件的一个小短语（有几种翻译的可能性，见下文）、一张与文件正文无关的废纸，用于将文件固定在一起（但其中包含的单词和埃及分数现在已为文件读者所熟悉），以及一个小的历史注释，据认为是在纸莎草纸正文完成后的一段时间写的。该注释被认为描述了 "希克索斯人统治 "时期发生的事件，这是古埃及社会的一个外部中断时期，与其第二个中间时期密切相关。随着这些非数学性但在历史和语言学上耐人寻味的勘误，纸莎草纸的写作也告一段落。
单位一致
莱茵德纸莎草纸中使用的度量单位。/ 明尼苏达州用户提供 ，维基共享资源
《莱茵德纸草》的大部分材料都与古埃及的度量单位有关，尤其是用于度量单位之间换算的尺寸分析。图片中给出了纸莎草纸中使用的度量单位的对照表。
请参见源文件中的尾注和参考书目。